1  引言

隨著無(wú)線通信技術(shù)的發(fā)展和移動(dòng)通信終端設(shè)備的普及，特別是近年來(lái)人們對(duì)小型化、多頻帶、集成化天線的迫切需求，使天線技術(shù)得到了充分的發(fā)展。但是，傳統(tǒng)的天線在幾何形狀上基本上都是基于歐幾里德幾何的設(shè)計(jì)。雖然，隨著天線技術(shù)的不斷發(fā)展出現(xiàn)了微帶天線，具有低剖面、重量輕、成本低，可與各種載體共形，適合印刷電路板技術(shù)批量生產(chǎn)、易于實(shí)現(xiàn)圓極化、雙極化、雙頻段工作等優(yōu)點(diǎn)，但其致命的缺點(diǎn)是窄帶性，從而限制了它的廣泛應(yīng)用。因此，迫切需要運(yùn)用新的理論和方法，探索現(xiàn)代天線的設(shè)計(jì)，解決傳統(tǒng)的天線設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的問(wèn)題和矛盾。研究發(fā)現(xiàn)，將分形幾何應(yīng)用到天線工程中，可設(shè)計(jì)出尺寸和頻帶指標(biāo)更好的分形天線。

2  分形天線

“分形”這一概念是由法國(guó)數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot 于1975年首次提出的,“分形（Fracta1）”這個(gè)名詞即拉丁文的“破碎”。分形幾何就是研究無(wú)限復(fù)雜而具有特定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)，自相似就是局部的形態(tài)與整體形態(tài)的相似，分形具有兩大特征：自相似性和空間填充性(即分?jǐn)?shù)維)。

所謂分形天線，是指幾何屬性上具有分形特征的天線。世界上第一個(gè)分形天線是由美國(guó)科學(xué)家Dr．Nathan Cohen 于1988年完成的，而對(duì)分形天線進(jìn)行系統(tǒng)的研究是從1995年8月Cohen 發(fā)表他的第一篇有關(guān)分形天線方面的文章開(kāi)始的。隨后，國(guó)際上很多大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)開(kāi)始對(duì)分形天線進(jìn)行研究。分形天線是分形電動(dòng)力學(xué)的眾多應(yīng)用之一。天線與陣列的分形設(shè)計(jì)是電磁理論與分形幾何學(xué)的融合，如我們熟悉的螺旋天線和對(duì)數(shù)周期天線等一類頻率無(wú)關(guān)天線都是分形天線，它已經(jīng)存在多年，但直到分形技術(shù)應(yīng)用后，它的性能才得以充分的理解。

傳統(tǒng)的微帶天線要實(shí)現(xiàn)其雙頻和多頻工作通常需要采用多個(gè)輻射單元的天線或電抗性負(fù)載貼片天線或多頻介質(zhì)諧振天線，這些都增加了天線的復(fù)雜性，同時(shí)，也增加了制作的難度和成本。現(xiàn)代無(wú)線通信要求用低剖面、小尺寸、多頻帶（寬頻帶）、可集成的天線，分形天線能更好的滿足這種要求。分形是通過(guò)迭代產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)維自相似結(jié)構(gòu)，其整體與局部、局部與局部之間都具有自相似性。因此，分形是一種與標(biāo)度無(wú)關(guān)的幾何，與寬帶天線的頻率無(wú)關(guān)性比較相似。將分形應(yīng)用于天線的設(shè)計(jì)主要是用來(lái)實(shí)現(xiàn)天線小型化和天線的多頻特性，分形天線解決了傳統(tǒng)天線的兩個(gè)局限性：(1) 通常天線的性能都依賴于天線的電尺寸。這就意味著對(duì)于固定的天線尺寸，主要天線參數(shù)（增益、輸入阻抗、方向圖和副瓣電平等）將隨著工作頻率的改變而改變。分形的自相似性使分形天線有多頻和寬頻特性。(2) 分形的空間填充性，使一些天線的尺寸得到減縮。

分形天線的研究和應(yīng)用，在軍事和民用方面都有著巨大的潛力，尤其在無(wú)線、衛(wèi)星和移動(dòng)通信系統(tǒng)中將會(huì)發(fā)揮巨大的作用，有著非常廣闊的市場(chǎng)前景。國(guó)外在分形天線單元和分形天線陣列研究方面已取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，但國(guó)內(nèi)在這方面的研究還很少，分形天線是分形理論和天線技術(shù)的融合，表現(xiàn)出與傳統(tǒng)天線相比的許多優(yōu)勢(shì)，是近幾年天線領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

2.1幾種常見(jiàn)的分形天線

分形幾何天線的形成主要是通過(guò)迭代的方式產(chǎn)生的，這就使得分形天線具有自相似性。如正三角形四等分成四個(gè)小三角形，挖去中間的一個(gè)，把剩下的三個(gè)小三角形四等分挖去中間的一個(gè)，如此無(wú)限的進(jìn)行下去，面積將趨于零、邊長(zhǎng)增加、由無(wú)窮多線段組成的Sierpinski Gasket，如圖2所示，其分維數(shù)為ln3/ln2。

（a）Koch天線形成過(guò)程              （b）Koch雙極天線
圖1   Koch 分形天線

圖2   Sierpinski Gasket分形天線的形成

圖3   Koch雪花分形天線

圖4   Hilbert曲線分形天線

圖5   Koch分形環(huán)和Minkowski分形環(huán)
圖6   Sierpinski Gasket/Carpet 分形天線

2.2分形天線的特性分析

由于分形幾何兩個(gè)獨(dú)特的特征：自相似性（self-similarity）（或自仿射性self-affinity）和空間填充性（space-filling），結(jié)合天線的特征，使得分形幾何在天線工程領(lǐng)域中的應(yīng)用有了突破性的發(fā)展。使天線在尺寸大小和頻帶寬窄以及多頻帶等方面的性能與傳統(tǒng)天線相比有了極大的改善。

寬頻帶天線的重要特征是其性能與頻率無(wú)關(guān)，如我們熟悉的螺旋天線和對(duì)數(shù)周期天線等一類非頻變天線（即頻率無(wú)關(guān)天線）都是分形天線。當(dāng)頻率變化時(shí)能保持其阻抗和方向圖特性不變，即以頻率為尺度時(shí)，其電性能不變。分形幾何是一種與標(biāo)度無(wú)關(guān)的幾何，具有相似的結(jié)構(gòu)，這意味著分形天線形狀在不同的尺度變化下保持相似性，從而具有相似的電特性，形成多頻帶天線，從這一點(diǎn)上分析，研究分形幾何與天線的關(guān)系有其必要性。

文獻(xiàn)[1]中設(shè)計(jì)的Sierpinski地毯分形微帶天線如圖7，仿真和計(jì)算結(jié)果都表明，Sierpinski地毯分形微帶天線具有多頻帶性，且最寬的頻帶達(dá)到中心頻率的47.1％。文獻(xiàn)[2]Sierpinski墊片分形天線也具有多頻帶性，這也證明了分形天線的多頻帶特性。實(shí)際上，不僅Sierpinski分形天線及其變形[3]分形天線表現(xiàn)出多頻帶性，而且分形樹(shù)天線、隨機(jī)分形天線也具備同樣的特性。例如，利用等效RLC電路模擬法研究Dendrite類型的印刷分形天線[4]發(fā)現(xiàn)，Dendrite類型的隨機(jī)分形天線在0.4-15GHz頻率范圍內(nèi)也具備較好的寬帶性能。

我們知道，經(jīng)典的歐幾里德幾何研究的對(duì)象是規(guī)則而光滑的幾何形狀，而分形結(jié)構(gòu)是由迭代產(chǎn)生的復(fù)雜形狀，使一些天線的尺寸縮減成為可能。當(dāng)然，分形嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，它是通過(guò)無(wú)限次的迭代而產(chǎn)生的復(fù)雜的幾何圖形，在天線的應(yīng)用中我們一般只進(jìn)行有限次的迭代，這并不影響天線的性能。與傳統(tǒng)的天線相比，它更有效的占據(jù)空間，也就是分形天線的空間填充性，使得它在很小的空間內(nèi)能有效的耦合從饋電傳輸線到自由空間的能量。通過(guò)分形環(huán)和分形雙極子天線與線性環(huán)和雙極子天線的比較得出：分形天線的空間填充性使得天線的尺寸縮小。實(shí)驗(yàn)也證明了這點(diǎn)：Koch曲線分形單極子天線如圖1、Koch雪花如圖3、Minkowski分形環(huán)天線如圖5，它們的諧振頻率都隨著迭代次數(shù)的增加而降低[5]。這里，將著重討論Koch曲線的分形天線的尺寸縮減性能。文獻(xiàn)[6][7]重點(diǎn)討論了Koch曲線的單極天線特性，它的分維數(shù)為㏑4/㏑3，當(dāng)保持天線的高度不變時(shí)，見(jiàn)圖1(a)所示，隨著迭代次數(shù)的增加，曲線的長(zhǎng)度將按4/3的倍數(shù)增加，天線的輻射阻抗增加，諧振頻率減小，并趨于某一極限值，同時(shí)品質(zhì)因數(shù)Q值減小，也趨于某一有限值。當(dāng)利用兩個(gè)Koch 曲線作為天線的兩個(gè)振子時(shí)，即形成了Koch 雙極子曲線。如圖1(b)所示，Koch雙極曲線的長(zhǎng)度也隨著迭代次數(shù)的增加而增加，輻射阻抗相應(yīng)的增加，諧振頻率逐漸減小，并趨于某一極限值。當(dāng)保持雙極曲線的諧振頻率不變時(shí)，Koch曲線的長(zhǎng)度在增加而高度在減小，見(jiàn)表1和圖7，從表中我們發(fā)現(xiàn)，隨著迭代次數(shù)的增加，天線的高度逐漸減小而趨向于某一有限值，而長(zhǎng)度卻無(wú)限增長(zhǎng)。所以這種設(shè)計(jì)有利于天線的小型化,當(dāng)然隨著迭代次數(shù)的增加，也就相應(yīng)的增加了天線設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，因此，曲線的迭代次數(shù)不宜過(guò)大。

表1  Koch分形雙極天線的高度與長(zhǎng)度隨迭代次數(shù)增加的變化

圖7  Koch分形雙極天線的高度與長(zhǎng)度隨迭代次數(shù)增加的變化(這里只畫(huà)了一半)

具有尺寸縮減性能的分形天線還有分形貼片天線[8]。Hilbert分形天線，它的生成過(guò)程如圖4所示，文獻(xiàn)[9]對(duì)Minkowski分形環(huán)天線進(jìn)行了深入的分析，表明Minkowski分形天線具有尺寸縮減性，同時(shí)隨著分形迭代次數(shù)的增加，天線的尺寸縮減效應(yīng)將趨于一極限值等。

3 分形理論在天線設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

分形天線的自相似性能減小分形天線元的整體寬度，同時(shí)和歐幾里德幾何天線元保持同樣的性能，因?yàn)楦鱾€(gè)天線元具有同樣的諧振頻率和相同的輻射方向圖。分形元能夠改善運(yùn)用歐氏幾何天線元的線性天線陣列的設(shè)計(jì)，運(yùn)用分形元來(lái)改善和提高天線陣列的性能，這里討論兩種方法：

一種方法就是減小天線元之間的相互耦合。因?yàn)榫€性陣列中天線元之間的相互耦合導(dǎo)致整個(gè)天線的輻射方向圖性能下降。相互耦合還能改變天線元的激發(fā)電流。因此，如果在陣列天線的設(shè)計(jì)過(guò)程中忽略天線元之間的內(nèi)部耦合作用，那么天線的輻射方向圖就會(huì)受到影響，通常表現(xiàn)為副瓣電平的提高甚至導(dǎo)致零信號(hào)的填充。

圖8  中心距離相等的兩種線性陣列

為了比較分形單元和傳統(tǒng)的天線單元之間的相互耦合作用，陣列設(shè)計(jì)如圖8 所示，兩個(gè)陣列都有五個(gè)單元組成，單元之間的距離為d=0.3π，陣列單元的相位依次增加1.632弧度，主波束沿軸向掃描為135°。陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖如圖9，從圖中可以看出，兩個(gè)陣列主波束掃描角度達(dá)到理想的135°，分形天線元陣列在45°方向上有較小的副瓣，同樣，通過(guò)比較理想陣列元（不考慮陣列元之間的互耦作用）和分形陣列元之間的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，可以看出陣列元之間的相互耦合作用影響陣列天線的性能和零訊號(hào)的填充。在45°方向上，分形陣列的副瓣輻值比傳統(tǒng)天線陣列的副瓣輻值小20dB，這意味著更多的能量加在主瓣上。

圖9   陣列的方向圖比較（ƒ（Ø）單位：dB）

另一種方法是在線性陣列中排列更多的分形天線元。這兩種方法極大的擴(kuò)大了線性陣列的有效掃描角度。分形也可以用來(lái)在一個(gè)線性陣列中放置更多的天線元，即一固定寬度的陣列天線，如果用分形天線元來(lái)代替，可以增加天線元的個(gè)數(shù)，同時(shí)減小了天線元之間的距離，這就使得陣列可以掃描到更低的角度，不會(huì)產(chǎn)生不期望的副瓣，這是因?yàn)樵谕瑯拥闹C振頻率且保持天線元的邊邊距離不變的條件下，分形元尺寸較小，如圖10所示，在中心距為0.5π的五個(gè)矩形環(huán)形單元線陣所占的空間中，排了七個(gè)分形環(huán)單元，且每?jī)蓚€(gè)單元的中心距為0.35π，矩形環(huán)單元相位依次增加2.72弧度，分形環(huán)單元相位依次：

圖10   相同寬度的兩種陣列元排列

增加1.9弧度，都能實(shí)現(xiàn)主波束掃描135°。陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖如圖11，從圖中可以看出，在45°方向上分形元陣列的副瓣輻值比矩形元陣列低15dB。

圖11  兩種陣列的方向圖的比較

隨著天線技術(shù)的不斷發(fā)展，分形幾何在天線中的應(yīng)用也會(huì)越來(lái)越多,文獻(xiàn)[10][11]分別研究了分形在MIMO天線和UWB射頻設(shè)計(jì)中所獲得的理想效果。我們知道微帶天線有低剖面、重量輕、易集成，易于載體共形等特點(diǎn)，但是，這種天線的頻帶窄和難于實(shí)現(xiàn)多頻帶等固有的缺點(diǎn)限制了它的應(yīng)用，如能把微帶天線的輻射元用分形元來(lái)替代[8]，結(jié)合分形天線的特性，那將會(huì)極大的改善天線的性能。這必將是天線的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)。這里，我們主要討論了規(guī)則分形圖形在天線領(lǐng)域的應(yīng)用。隨機(jī)分形天線分析也有文獻(xiàn)探討：隨機(jī)分形圖形更接近于復(fù)雜的自然形態(tài)的結(jié)構(gòu)，這也是分形理論在天線設(shè)計(jì)中的一個(gè)發(fā)展。

4  總結(jié)

分形幾何的兩大特性應(yīng)用到天線的設(shè)計(jì)中，解決了傳統(tǒng)天線設(shè)計(jì)中的天線尺寸和多頻帶兩大問(wèn)題，同時(shí)，將分形運(yùn)用到陣列天線的設(shè)計(jì)可以大大的改善和提高天線的性能。縱觀分形天線的研究現(xiàn)狀，分形天線的研究還處在初級(jí)階段，還正待深入研究分形特性與天線特性以及天線性能之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)天線小型化和多頻帶的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]  M.K.Rahim, N.Abdullah, and M.Z.A.Abdul Aziz. Microstrip Sierpinski Carpet Antenna Design. IEEE, 2005: p58-61
[2]  Yiftah Gelman, Ehud BerrAri and ReuvenShavit. Multiband Bow-tie Antenna Based on Fractal Geometry. 0-7803-8302-8/04/$20.00200 04: IEEE, pp3441-3444
[3]  Douglas H. Werner, and Suman Ganguly. An Overview of Fractal AntennaEngineering Research. IEEE Anlennasand Propagation Magazine. Vol.45, NO. I, February 2003
[4]  Jose Luis Sanchez, Leaandro de Haro. Experiences on Multiband Fractal Antennas. IEEE, 2001:
[5]  許峰. 若干分形天線分析研究. 西安電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文. 2002: 1-2
[6]  C．Puente，J．Romeu，R．Pou s，J．Rami S，and A．Hijazo. Small But long koch fractal monopole. Electtonics Letters 1998, 34(1): 9-10
[7]  C．Puente，J．Romeu，R．Pous，A．Ca rdama. The koch monopole : A sma11 fractal antenna. IEEE transactions on antennas and propagation. 2 00O: 48(11).
[8]  John P. Gianviffwb. and Yahya RahmatSamii. Fractal Antennas: A Novel Antenna Miniaturization Technique and Applications. IEEE,Antenna’s and Propagation Magazine.  Vol.44, No. 1, February 2002
[9]  王麗萍，許 峰，傅德民，龔書(shū)喜. Minkowski分形天線分析. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). V (29):
[10] 屠振，王理，王彪. 分形天線的特性分析及其在MIMO天線中的應(yīng)用. 電子工程師. V(30)11:
[11] 孫華明，周正. UWB信號(hào)射頻特性分析及分形天線的應(yīng)用. Radio Engineering. 2004, V(34)9:

作者：錢四林,黃華,施建超