摘要：本文以柱面、球面等規則形狀微帶天線為例，采用基于面積分方程法研究了共形微帶天線的特性。采用細條帶等效探針饋電模型，通過引入半Rao-Wilton-Glisson (RWG) 函數以及邊界電荷，分析了電壓源以及電流源模型中阻抗矩陣Z 以及V 向量的計算過程。針對共形微帶天線陣列未知量大、效率低的缺陷，采用特征基函數法結合等效偶極矩法分析了共形微帶天線陣列。數值計算證明了本文分析的正確性和有效性。

關鍵詞：共形微帶天線，Green’s 函數，積分方程法，半RWG 函數，天線陣列

1、引言

在飛機、導彈等高速飛行的載體上，要求天線不能影響載體的動力學特性，除了將天線安裝在天線罩中外，還可以使天線與載體物理共形，近年來可穿帶技術也需要共形天線技術。微帶天線具有易共形的特征，因此共形微帶天線研究成為熱點。目前，研究較多的為柱面^[1]、球面^[2]等規則形狀微帶天線，研究方法從簡單的、精確度較差的傳輸線理論、腔模理論過度到復雜的、精確度高的全波分析理論。這里，我們采用全波分析理論，實現對共形微帶天線的精確分析。

積分方程法是全波分析理論中的一種常用方法，在分析共形微帶天線時，主要采用兩類積分方程法，應用較多的是體面積分方程法^[3]，這種方法適用范圍廣，理論上可以分析電小尺寸、任意曲面的共形微帶天線，且計算過程簡單。該方法對天線進行整體剖分，導體面和介質體一般采用三角面剖分和四面體剖分，采用矩量法求解表面等效電流和體等效電流。但其計算大尺寸陣列時會產生龐大的未知量，甚至容易產生內存溢出的現象。雖然，借助于快速算法可以擴大體面積分方程法的應用范圍，但其消耗的計算機內存也是相當大的。在載體面規則的情況下可以采用另一類方法-基于分層媒質格林函數的面積分方程法^[4]，這種方法只需將導體面進行剖分，介質體不需要進行體剖分，其影響體現在該結構下的并矢格林函數里。這樣，產生的未知量相比體面積分方程少的多，緩解了計算機內存壓力，適用于較大尺寸的陣列分析。本文采用的即為第二類積分方程法。

采用面積分方程法分析的重要環節是對相應載體結構的并矢格林函數的求解，以柱面、球面為例，本文采用面積分方程法分析了共形微帶天線的性質。天線模型采用細條帶等效探針激勵的方式，通過引入半RWG 函數以及邊界電荷，成功構建了一種可行的激勵模型，重點分析了矩量法過程中阻抗矩陣以及電壓向量的計算。另外，本文利用快速算法分析了共形微帶天線陣列的輻射特性，為共形微帶天線的研究提供了理論支撐。

2、理論分析

共形微帶天線結構如圖1 所示，分層結構第一層為空氣層，第二層為介質層，最內層為金屬接地導體。圖中任意形狀的貼片為不計厚度位于介質層與空氣層的交界面上。

圖1、共形微帶天線示意圖

正如引言所述，本文采用面積分方程法對其進行分析，根據貼片與探針表面切向場為零，采用伽略金法的矩量法求解，其阻抗矩陣可以表達為

 (1)

其中，f_m為檢驗基函數，下標a,b,c 為相應坐標系的三個分量，分析柱面采用柱坐標系下的ρ, φ, z，分析球面采用球坐標系下的θ,φ, r。為并矢格林函數。J 為貼片和探針表面的電流，需要對貼片和探針進行三角形離散，采用RWG 基函數模擬表面電流。在此過程中，并矢格林函數的求解是首先要解決的難點之一，目前，關于柱面，球面情況下并矢格林函數的求解已有不少成果^[5-7]，本課題組對兩種情況下求解格林函數做了大量工作^[8-11]，這里歸納出兩類格林函數之間的異同，它們在以下兩個方面相似：

(1) 除了細節差異，兩者主體推導思路相似，都是基于復雜媒質中波的傳播理論為基礎。

(2) 兩者場型格林函數都表現出了收斂速度慢的缺陷，都可以采用相似的方法-格林函數漸近項提取的方法來改善格林函數的收斂速度。

在以下兩個方面有所不同：

(1) 在函數形式上不同，柱面格林函數為積分形式，而球面格林函數為雙級數和形式。

(2) 在推導過程中，柱面結構中TE 波與TM 波發生耦合，而球面結構中TE 波與TM 波不發生耦合。

鑒于篇幅限制，不再對兩者詳細的推導過程做出解釋。根據矩量法，求解出天線表面的等效電流，即可得到天線特性。

3、激勵源的構建

在分析過稱中需要考慮的是激勵源的構建，本文中采用RWG 函數來模擬貼片與探針的電流分布，激勵源并不能采用常用的邊饋法，RWG 函數邊饋法要求在兩個三角形的公共邊上添加δ源。此處由于探針底部的邊并不是三角形對的公共邊，而是邊界邊，RWG 函數在邊界邊上并沒有定義，如圖2 所示。

圖2、探針底部示意圖以及半RWG 函數

這里，引入了半RWG 函數，顧名思義，半RWG 函數只在一個三角形上定義，其形式為^[12]

(2)

其中，A_k表示三角形T_k的面積；l_k表示邊界邊的長度；ρ_k代表_Tk邊界邊對應角點到三角形內任意點的矢量。該三角形上的電荷密度為

(3)

則T_k三角形內的電荷為-l_k/ jω，根據電荷守恒定律，邊界邊上的電荷為l_k/ jω，電荷密度為

(4)

δ(r-r’)表明電荷只分布在邊界邊上。需要說明的是，這里只在激勵源處定義了半RWG 函數，其他邊界邊不需要定義。此時，可以添加電流源，也可以添加δ電壓源，具體分析過程可參考文獻[12]。在矩量法分析中，需要求解阻抗矩陣Z 和電壓矩陣V。

電流源激勵是將穩定的電流源添加在探針底端的一個三角形上，可以采用半RWG 函數的形式，電流密度系數為1，為

(5)

根據矩量法，V 矩陣可表示為

(6)

電壓源激勵時的V 矩陣比較簡單，在探針底端饋電邊為l_nV ，其他公共邊上為零，即

(7)

在分析過程中，我們得到如下結論^[12]：當天線剖分網格相同時，電流源激勵比電壓源激勵少一個激勵源處的基函數，得到的電流分布并不相等。電流源激勵的阻抗矩陣為電壓源阻抗矩陣的一部分，少了激勵源處自阻抗元素以及互阻抗元素。電流源處的自阻抗元素和互阻抗元素用于求解V 矩陣以及輸入阻抗。雖然電流源與電壓源激勵分析角度有所區別，但最終得到吻合一致的輸入阻抗值。

4、共形微帶天線陣列的計算

分析共形微帶天線陣列會面臨未知量多、計算效率低的缺陷，需要結合快速算法來改善效率。特征基函數法是適合分析本文對象的一種算法。目前，特征基函數法結合其他算法被廣泛應用于對電大尺寸目標的散射與輻射分析^[13]。它通過將目標分成若干子域，降低阻抗矩陣的維數，對各個分塊操作提取主特征基函數與次特征基函數，進而構造一個降階的阻抗矩陣。

首先，將陣列天線進行分塊，由于陣列天線是貼片個體組成的，可以將單個貼片視為一個子域，這樣不需要考慮子域連接處電流的不連續性。

其次，為了反映子域間的耦合作用，要對每個子域提取次特征基函數，第一階次特征基函數通過其他所有子域主特征基函數產生的場計算出來的，同理，第二階次特征基函數通過其他子域第一階次特征基函數產生的場得到的，以此類推，可計算出任意高階的次特征基函數。

在分析過程中，有幾點需要注意：

(1) 由于貼片都是相同的，因此可以將貼片剖成相同的數據網格，這樣所有子域的主特征基函數相同，降低了計算的復雜度。

(2) 在得到次特征基函數時，需要計算子域間的互阻抗矩陣，對于周期性天線陣，我們可以根據子域間的相互位置關系以及矩陣本身的對稱性來減少互阻抗矩陣的計算。

(3) 通過設置門限進一步減少互阻抗矩陣的計算，門限的設置忽略了遠距離或者耦合弱的子域產生的次特征基函數，多次試驗經驗表明，當兩個子域間的距離超過2λ時，其產生的耦合作用即可忽略。

(4) 對于非周期性天線陣列，子域間的相對位置關系并不固定，因此考慮子域間的互阻抗矩陣個數會跟多，這里可以采用等效偶極矩法進行近似計算，可以提高計算效率。限于篇幅，不再介紹等效偶極矩的原理。

5、天線數值計算

本文計算了一副條帶饋電圓柱共形微帶天線的輸入阻抗和輻射特性。圓柱結構如圖1 所示，接地圓柱半徑a₀=50mm，介質厚度h=0.795mm，介電常數ε₁=2.3 ， 貼片高度2d₀=30mm， 寬度2a₁φ₀=40mm ，φ_s=0°，z_s= 10mm。激勵源采用電源激勵。仿真計算輸入阻抗結果如圖3 所示，與文獻[14]吻合較好，說明了本文處理的正確性。

圖3、柱面共形微帶天線的輸入阻抗對比圖

另外，本文計算了一副球面非周期對稱陣列微帶天線，排列方式按照圖4 的二十面體網格形式排列，矩形貼片的尺寸為7.2X5 mm²，金屬球體半徑為76 mm，介質厚度為0.25 mm，介電常數為2.94，探針距離貼片中心的弧長度為1 mm。圍繞中心陣元的第一圈的弧長度為15 mm，第二圈的弧長度為30 mm，每一圈內的陣元之間的弧長度都相等，激勵源采用等幅同相的電壓源。工作頻率為16.2 GHz。

圖4、非周期排列的陣列模型俯視圖

這里采用FEKO 仿真結果加以對比，如圖5所示。需要指出的是FEKO 軟件采取天線整體全剖分方式，未知量數目多，接近計算機內存最大值，而本文內存消耗幾十兆，節省了內存。從圖中可以看出，本文分析計算的正確性。

圖5、非周期排列的陣列E 面與H 面遠區場圖

6、結論

本文以兩種曲面為例，采用了面積分方程法分析了共形微帶天線的性質。天線模型采用細條帶等效探針激勵的方式，通過引入半RWG 函數以及邊界電荷，成功構建了一種可行的激勵模型，分析了矩量法過程中阻抗矩陣以及電壓矩陣的計算。另外，本文利用快速算法分析了共形微帶天線陣列的輻射特性。

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作者：尹成友 于濤，電子工程學院，安徽合肥

來源：《2015年全國微波毫米波會議論文集》