技術(shù)

低副瓣陣列的設(shè)計(jì)原理

2022-01-12 來(lái)源：微波射頻網(wǎng) 作者：94巨蟹座少年字號(hào)：大中小

學(xué)個(gè)Antenna是以天線仿真和調(diào)試為主，理論原理為輔的干貨天線技術(shù)專欄，包括天線入門知識(shí)以及各類天線的原理簡(jiǎn)介、仿真軟件建模、設(shè)計(jì)、調(diào)試過(guò)程及思路。如有想看到的內(nèi)容或技術(shù)問(wèn)題，可以在文尾寫下留言。

摘要：

在淺談陣列天線及布陣一文中，我們知道了均勻直線陣的第一副瓣電平為－13.5dB。為了使雷達(dá)系統(tǒng)具有較高的抗干擾、抗反輻射導(dǎo)彈等的能力，現(xiàn)代電子戰(zhàn)對(duì)雷達(dá)天線提出了越來(lái)越低的副瓣要求。采用切比雪夫綜合法、泰勒綜合法等設(shè)計(jì)方法就可實(shí)現(xiàn)低副瓣。

本文使用的軟件為CST 2018和MATLAB R2019a

第一副瓣電平
在學(xué)個(gè)Antenna專欄的上次推文——淺談陣列天線及布陣，對(duì)均勻直線陣的陣因子進(jìn)行了簡(jiǎn)單的理論推導(dǎo)。歸一化陣因子為：

通過(guò)歸一化陣因子的表達(dá)式，可以求得其副瓣位置和副瓣電平值。要求得副瓣的位置，需要求得當(dāng)時(shí)，的取值。

%matlab code

clear;clc;N=10;format long;

x=-pi/2:0.01:pi/2;y=abs(sin(N*x)./(N*sin(x)));

%find first sidelobe

[value1,id1]=findpeaks(y);

[value2,id2]=sort(value1);

first_sidelobe=20*log10(value2(end-1));

location=x(id1(floor(length(id1)/2)));

plot(x,y,'r','linewidth',2);

set(gca,'linewidth',3);

xlabel('\psi','Fontsize',12);

axis([-pi/2,pi/2,0,1]);

h=legend({strcat('$$\left| {{{\sin \left( {N\psi} \right)} \over {N\sin \left( \psi \right)}}} \right|,N=',num2str(N),'$$'),...

},'interpreter','latex');

title({strcat('第一副瓣電平(dB)：',num2str(first_sidelobe));strcat('位置：',num2str(location))});

set(h,'FontName','Times New Roman','FontSize',12,'FontWeight','normal');

在MATLAB軟件跑上面的代碼，可以得到單元數(shù)N=10時(shí)，均勻直線陣等幅同相激勵(lì)下的陣因子圖。可能有人會(huì)疑問(wèn)，均勻直線陣的第一副瓣電平不是-13.5dB么？差了0.5dB去哪了。

其實(shí)是單元數(shù)N取小了，將上面代碼的N賦值為50，將步進(jìn)間隔由0.01改為0.0001，就會(huì)得到下圖，基本上達(dá)到了理論值。

雖然與一般教材上的-13.5dB還有0.25dB差值，但這部分是因?yàn)?img alt="" src="http://www.letsgo8.com.cn/uploadfile/2022/0112/20220112172444783.png" style="height:13px; width:25px" />這個(gè)函數(shù)求第一極值點(diǎn)采用了近似計(jì)算的方法，第一副瓣位置對(duì)應(yīng)的位置值為。與實(shí)際副瓣位置點(diǎn)有一定的偏差造成的。

謝昆諾夫單位圓

對(duì)于一個(gè)等間距(d)排布饋電的N元直線陣，激勵(lì)電流幅度其陣因子為，相鄰單元遞變相位差為，其線陣對(duì)應(yīng)的陣因子為：

由于一個(gè)N-1次冪的多項(xiàng)式有N-1個(gè)復(fù)根，因此歸一化的上式可以寫成N-1個(gè)因式的連乘積形式：

式中，是多項(xiàng)式的根(零點(diǎn))。自變量的相位與d、和有關(guān)。

自變量的軌跡是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)圓，下圖為已知d和時(shí)，w的軌跡隨變化：

以五元等間距陣列為例，繪制除了四個(gè)零點(diǎn)在單位圓(復(fù)坐標(biāo)軸)上的分布如下所示：

易得五元陣的陣因子模值可表示為：

圖中當(dāng)自變量點(diǎn)w位于和兩個(gè)零點(diǎn)的中間位置時(shí)，S|(W)|就可近似看為第i個(gè)副瓣的峰值。主瓣區(qū)在點(diǎn)D和點(diǎn)E之間，I點(diǎn)為最大值點(diǎn)，其余零點(diǎn)間的區(qū)域?yàn)楦卑陞^(qū)。如果能使四個(gè)零點(diǎn)都往H點(diǎn)靠近，那么副瓣肯定會(huì)降低，同時(shí)容易看出主瓣區(qū)域變大，主波束寬度增加，從而導(dǎo)致增益下降。

道爾夫-切比雪夫綜合法

由于常規(guī)的陣列天線，其副瓣電平較高。為了使雷達(dá)系統(tǒng)具有較高的抗干擾、抗反輻射導(dǎo)彈等的能力，往往要求對(duì)陣列天線的幅度進(jìn)行加權(quán)以實(shí)現(xiàn)低副瓣特性。采用道爾夫—切比雪夫綜合法、泰勒綜合法等設(shè)計(jì)的陣列天線就可實(shí)現(xiàn)低副瓣。

本節(jié)講述一種在實(shí)際工程中常用的陣列天線綜合方法——道爾夫-切比雪夫綜合法。

切比雪夫陣列的特點(diǎn)是：

(1) 等副瓣電平；

(2) 在相同副瓣電平和相同陣列長(zhǎng)度下主瓣最窄，稱為最佳陣列；

(3) 單元數(shù)多，且副瓣電平要求不是很低時(shí)，陣列兩端單元激勵(lì)幅度跳變大，使饋電困難。

在這里簡(jiǎn)單介紹下切比雪夫多項(xiàng)式：

·切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。這是因?yàn)榈谝活惽斜妊┓蚨囗?xiàng)式的根（被稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)）可以用于多項(xiàng)式插值。相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地降低龍格現(xiàn)象，并且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳一致逼近。

百度百科

在微分方程的研究中，數(shù)學(xué)家提出切比雪夫微分方程：

第一類切比雪夫多項(xiàng)式由以下遞推關(guān)系確定：

下面通過(guò)MATLAB軟件編程繪制前四項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式：

x=-1.5:0.01:1.5;

T1_x=x;

T2_x=2*x.^2-1;

T3_x=4*x.^3-3*x;

T4_x=8*x.^4-8*x.^2+1;

h1=plot(x,T1_x,'r','linewidth',3);

hold on;

h2=plot(x,T2_x,'g','linewidth',3);

h3=plot(x,T3_x,'b','linewidth',3);

h4=plot(x,T4_x,'c','linewidth',3);

axis([-1.5 1.5 -6 6]);

set(gca,'linewidth',3);

xlabel('x','fontName','Times New Roman','fontsize',18);

ylabel('T_n(x)','fontName','Times New Roman','fontsize',18);

%繪制虛線

xx=-1:0.1:1;

y1=-1*ones(1,length(xx));y2=1*ones(1,length(xx));

h5=plot(xx,y1,'--k','linewidth',1);

h6=plot(xx,y2,'--k','linewidth',1);

yy=-1:0.1:1;

x1=-1*ones(1,length(yy));x2=1*ones(1,length(yy));

h7=plot(x1,yy,'--k','linewidth',1);

h8=plot(x2,yy,'--k','linewidth',1);

%圖例

legend([h1,h2,h3,h4],'T_1(x)','T_2(x)','T_3(x)','T_4(x)','Location','Best');

hold off;

上圖給出了前四階切比雪夫多項(xiàng)式，從這些曲線不難發(fā)現(xiàn):

對(duì)于。在這個(gè)范圍內(nèi)，切比雪夫多項(xiàng)式的函數(shù)值在 ±1之間呈現(xiàn)等波紋振蕩。

不過(guò)，上面給出的切比雪夫多項(xiàng)式只適用于的范圍；當(dāng)時(shí), 要滿足x=cos u, 則w必須是一個(gè)純虛數(shù), 即u=jv(v 為實(shí)數(shù)) 。因此需要對(duì)微分方程進(jìn)行變量替換：

于是初始的切比雪夫微分方程可變形為：

最終求得切比雪夫函數(shù)在整個(gè)x軸的解：

為了實(shí)現(xiàn)陣列天線的可控等副瓣電平，如何將切比雪夫多項(xiàng)式的帶內(nèi)振蕩曲線作為方向圖的等電平副瓣電平呢？即怎樣使切比雪夫多項(xiàng)式與陣因子多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)？

注意到切比雪夫函數(shù)的形式為：

而當(dāng)陣列激勵(lì)分布為對(duì)稱分布時(shí)，則導(dǎo)出的陣因子也可表示為的形式。

如上圖所示，奇數(shù)單元的陣列可將中間單元拆分為兩個(gè)位置重合的單元，這樣奇/偶數(shù)單元陣列導(dǎo)出的陣因子在形式上基本一樣。這里以奇數(shù)單元陣列(N=2M+1)為例，其陣因子為：

利用歐拉公式，很容易就可以將對(duì)稱的兩個(gè)單元的陣因子項(xiàng)相加變?yōu)閏os(nu)的形式。

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得到歸一化陣因子為：

為了確定給定低副瓣指標(biāo)下的各單元的激勵(lì)幅度值，后面需要采用待定系數(shù)法，巧妙地將陣因子與限定區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)等波紋特性的函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。

同理可得：

對(duì)于N=10(偶數(shù)陣，M=5)，陣因子可表示為(另一半對(duì)稱，左右滑動(dòng)公式查看全貌)：

無(wú)量綱形式的主副瓣比為，采用用變量代換令，其中滿足。這樣將cos(nu)用進(jìn)行替換并展開(kāi) :

令(左右滑動(dòng)公式查看全貌)：

比較同類項(xiàng)系數(shù)，解線性方程組即可得出能實(shí)現(xiàn)給定主副瓣比，對(duì)應(yīng)的的值。

實(shí)例操作

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的編程后，我們可以綜合單元數(shù)大于3的線陣，求得其切比雪夫幅度加權(quán)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)單元饋電幅度分布。MATLAB p文件代碼附在文末的下載鏈接。

運(yùn)行該p文件后，計(jì)算10單元，30dB低副瓣情況下對(duì)應(yīng)的激勵(lì)幅度分布為：

在淺談陣列天線及布陣中仿真過(guò)一個(gè)微帶貼片線陣：

當(dāng)單元個(gè)數(shù)為10，且全激勵(lì)的情況下其主副瓣比還是比較高的，因此我們將上面的切比雪夫加權(quán)對(duì)應(yīng)的幅度值設(shè)置給各天線單元激勵(lì)端口。

從下面對(duì)比結(jié)果不難看出，經(jīng)過(guò)切比雪夫幅度加權(quán)后的10單元線陣，其相對(duì)副瓣電平從原來(lái)的-13.25dB下降到了-30dB。不過(guò)天線的實(shí)際增益也因此少了0.75dB，也算是有得必有失吧。（由于線陣的地板不夠大，因此其后瓣較高，因此這個(gè)實(shí)例中我們主要觀察主瓣和第一副瓣的差值）