謝昆諾夫（S.A. Schelkunoff）是國際知名的電磁理論科學家。從1934年解決同軸線內電磁場結構開始，他在后來的三十年內，在工程電磁場、天線理論、波導理論等方面發表了數十篇論文和幾本書，提出了許多定理、原理、概念、方法（它們之中有許多早已寫人大學教材中），作出了重要的貢獻。他使應用數學煥發出光采，許多工作帶有奠基性質。就經典電動力學方法（即量子理論以外領域）而言，可以把他比作二十世紀的麥克斯韋。眾所周知，電磁波的波導在微波技術中有廣泛應用，也是當前光波導光纖的前驅，因而介紹這方面的歷史是有意義的。

一

1897年1月27日，謝昆諾夫生于俄國薩馬拉，后隨家庭移居美國。1923年（26歲時）在華盛頓州立學院獲碩士學位后，即加人西屋公司工作，兩年后轉人貝爾研究所。1928年，他在哥倫比亞大學獲博士學位。以后，長期在貝爾研究所擔任高級科學家。

謝昆諾夫開始從事研究工作的時期，正處在電子學從短波技術向超高頻、微波技術發展的時代。筆者在前文^[1]中，曾談過兩位英國物理學家（O. Heaviside和J.J. Thomson）于1893年就波導的可實現性發表尖銳對立的意見的情形。顯然，只有實驗上的完全成功，才能對這一爭論的是非作出最后的判斷。在貝爾研究所，一方面有以G.C. Southworth為首的小組從事建立波導線路的實驗研究，同時又有以J.R. Carson為首的小組進行波導理論的數學分析工作。謝昆諾夫參加了后者。1936年，Carson，Mead和謝昆諾夫發表了題為《高頻波導數學理論》的論文，該論文反映的最重要的成果是導出了圓波導的嚴格的超越方程（即CMS方程^[2，3]）。論文中假定壁電導率為有限，同時作混合模（hybrid modes）分析。論文所導出的CMS方程實質是本征值方程，具有重要意義和實用價值。正是這篇論文命名了HE和EH模。CMS方程是針對金屬壁波導提出的，但經過J.A. Stratton^[4]的普遍化討論后，也適用于近代出現的光纖。因此，正是從1936年開始，謝昆諾夫和比他年長的貝爾研究所的研究數學家（research mathematician）J.R. Carson一起，作出了極有價值的貢獻。實際上，1934年謝昆諾夫在獨立發表關于同軸線這一雙導體導波體系的理論時^[5]，就一直在思考如何從數學上來處理單導體導波體系的波導問題。

1937年，謝昆諾夫發表了題為《平面電磁波傳輸理論》的論文^[6]，單獨一人作出了非常重要的貢獻。在這篇論文中，他率先把阻抗概念用于處理電磁場問題；他提出了無耗波導截止頻率的定義；他首創計算衰減常數的功率損耗法（power loss method），這在V.M. Papadopoulos^[7] 1954年論文發表之前是唯一能作數值計算的方法；他最先采用分布參數等效電路以分析自由空間的和導波的傳播，在這過程中，他利用矢量勢（vector potential）A作為工具。實際上，他的這些研究成果早已成為電磁場理論、波導理論教科書的基本內容。

三十年代末至五十年代初，是謝昆諾夫的多產時期，其間屢有佳作。例如，1938年他研究了微小失圓管子中的導波^[8]；1944年他對無限長矩形波導中的TE₁₀（H₁₀）模的純行波，定義了一組（三個）特性阻抗^[9]；1952年他提出“廣義電報員方程”^[10]，這是研究圓波導中TE₀₁（H₀₁）模傳輸的有力工具，在1955年以后人們用它解決了許多問題（實際上，正是謝昆諾夫最先指出圓波導中存在頻率越高衰減越小的模式，即H₀₁模）。這些都是對波導理論直接作出的貢獻。同波導理論間接有關的工作也很多，例如，1948年他討論了由均勻媒質等效空間網絡導出麥克斯韋方程組^[11]；1951年提出電磁場等價定理（field equivalence theorems）^[12]，它可用來解決波導的小孔激發理論問題；1952年，他由半無限導體圓錐的分析，解決了半無限長線電流產生的場分布^[13]；1955年，他通過正交函數展開，將麥克斯韋方程組轉換為具體問題的耦合波方程組^[14]等等。

二

指出下述的年代方面的巧合是非常有趣的：謝昆諾夫出生的那一年（1897），恰恰是瑞利第一次全面討論波導的那年^[15,16]，從那時到波導實驗成功（1936）^[17]恰為39年；而謝昆諾夫正是在39歲時，參加Carson領導的小組完成了對圓波導特征方程的推導工作^[2]。

基于一種科學思維上的敏感或直覺，謝昆諾夫對平面電磁波（一種非常基本的波）的性質進行了深人的研究。他指出^[6]，平面波可在理想導電壁金屬管子（圖1）中存在，但是近似平面的，等相面在邊界上畸變。

圖1、任意截面規則波導

從單色簡諧波條件下的麥克斯韋方程出發，在橫磁（TM）波和H_z=0的假定下，可以寫出標量E_x，E_y，E_z，和H_x，H_y，H_z之間的關系式；又假定某個電位函數U（表示在給定點與無限遠之間沿著等相面上一條路徑的電動勢作用），從而寫出

此外，引入矢量勢函數A（它的旋度是磁場強度矢量H），取A為z向矢量（A=A_zi_z，i_z為z向單位矢），則得

聯立以上三方面的關系式，可得

    （1）

式中σ，是波導內填充介質的電導率和介電常數。把上式與均勻傳輸線方程比較，可得取

   （2）

作為橫磁波傳輸等效為分布參數電路時的并聯導納.這樣，謝昆諾夫開始在用等效電路描述波動過程方面取得突破。

由麥克斯韋方程及上述關系式，可得

    （3）

    （4）

把（1）式代入（4）式，得

    （5）

式中

對比（3），（5）兩式，得

即

    （6）

這是無源空間的齊次Helmholtz方程，說明A_z（或說矢量A）是波方程的解。令

式中函數ψ表示場振幅在等相面上的分布；代入（5）式，得

式中左邊第一項與z無關，可令

式中h與（x，y，z）及ψ無關。由于ψ是實數，故h也是實數。又因F(z)與（x，y）無關，故可取

    （7）

將（7）式帶入（3）式后，得

    （8）

將（8）式與（4）式聯立，得

    （9）

對比均勻傳輸線理論中的公式：

可取

    （10）

作為橫磁波傳輸分布等效電路的串聯阻抗，現在可用圖2來描寫TM波的波動過程，并由（2）式和（10）式來決定元件的值：

    （11）

圖2、規則柱波導的TM波等效電路

當然，參照濾波器理論還可求傳播常數、特性阻抗和截止頻率的表達式。

謝昆諾夫的上述處理不僅在理論上優美、自洽，而且在工程計算上很方便。例如，對于圓波導和TM₀₁模，有

    （12）

式中k₀₁為Bessel函數J₀（x）=0的第一根，a為波導內半徑。

三

波導實驗成功后最初幾年，人們吃不準該怎樣看待它。問題是能否把它看成傳輸線？能否計算它的阻抗和反射？正是謝昆諾夫及時解決了這些問題。1937年，他首先提出了波導的波阻抗的定義。1944年，他又提出了特性阻抗的定義。他的分析主要針對矩形波導（圖3）。

圖3、矩形波導

其中的橫向電場與橫向磁場的關系，對TE模為：

    （13）

對理想導電壁波導主模（H₁₀模），可證明

    （14）

式中λ是工作波長，λ_c是截止波長，Z₀₀是自由空間波阻抗。波導波阻抗是有用的概念，但卻無法解釋兩段波導（a一樣，b不同）相聯后有反射發生的事實。

三十年代末到四十年代初的微波測量實踐，證明關于行波、駐波、反射、圓圖等傳輸線概念、方法均可用于波導。因而為了應用傳輸線理論就必須在單導體的波導情況下給出電壓和電流的定義。謝昆諾夫最早做了這個工作^[9]。對矩形波導主模，他定義

    （15）

    （16）

這樣他導出了一組（三個）特性阻抗：

    （17）

式中常數C可以是π|2，2，π²|8，因而特性阻抗失去了唯一性。由于表達式包含了b，因而解決了矛盾。

這是一個貢獻，但謝昆諾夫自己也認為這種處理不太自然。對這個問題，幾十年來發生許多爭論^[18-20]，我們認為D.M Kerns^[19]的見解比較正確、全面；他認為，由線積分定義電壓沒有普遍價值，因為并非在一切情況下均能知道波導內的場圖。其次，“ 一根波導的特性阻抗”的說法沒有意義，因為波導內有多模，每個模式都有自己的波阻抗值。但Kerns并不完全否定謝昆諾夫的方法在分析波導中不連續性問題時有價值，因而與完全否定的觀點^[20]不同。

目前采用的定義波導電壓和電流的方法是以基準場（basis fields）理論為基礎。這一較好方法是S.Silver^[21]最先提出的。它把波導內橫向場寫為

    （18）

    （19）

Silver把式中的U，I分別稱為模式電壓、電流參數。今天，我們稱為基準電場，為基準磁場。上述不用線積分定義電壓的方式比謝昆諾夫無疑前進了一步。

但是，謝昆諾夫的方法直到今天仍在使用著。例如，1983年發表的關于雙脊波導的論文山^[22]，對電壓的定義為

這顯然仍是謝昆諾夫方式。因此，向人們介紹這位在本世紀三十至六十年代非常活躍的電磁理論科學家的成就是十分必要的。

本文只是簡介謝昆諾夫在波導理論研究早期所做工作，絕非其貢獻的全部。但就本文內容已經可以看出，他的主要特點是理論思維方面的創新精神。雖然他畢生未做實驗工作，但令人驚奇的是他對事物總保持高度敏感并且總能在數學上找到處理的方法。

參考文獻：

 

 作者：黃志詢，北京廣播學院微波工程系

來源：《物理》