摘要：作者早就注意到數字4是無線電科學與技術中一個重要的因子。許多天線、無線電波傳播、射頻電路與系統常用計算公式中都有它的身影，現羅列如下，供大家學習參考。

正文：無線電科學的基礎是麥克斯偉方程。無線電技術的起源是赫茲的工作。赫茲不僅僅證明了麥克斯偉方程所預測的電磁波之存在，也開發了最早的天線，是天線界的鼻祖。馬格尼的貢獻在于改進與組裝，資助與開發了一系列無線電報系統，并在商業上取得成功。

一．天線

天線使無線通信與探測成為可能。因子4在天線基本性能指標定義及設計中發揮著重要作用。

1. 天線方向性系數

天線方向性系數D 可以按照如下公式計算：

(1)

公式(1)中?_α 是天線波束的立體角。據此定義，天線方向性系數是大于或等于1的無量綱的量。

2. 天線散射口徑

天線散射口徑A_s 是天線最大有效口徑A_em 的4倍。

(2)

3. 天線噪聲

(3)

公式(3)中k 是玻爾茲曼常數，T 天線噪聲溫度，R 是輻射電阻，B 是頻帶寬度。

4. 單極子天線

馬格尼將“有線電”中的接地慨念，引入到無線電中，發明了單極子(monopole)天線^[1]。單極子天線工作長度 l 可以按照如下公式選取：

(4)

公式(4)中λ 是工作波長。

5. 短路微帶天線

短路微帶天線保持了傳統微帶天線低剖面、易集成等優點，同時還具有諧振尺寸更小及主輻射面波束寬度大致相等的優點。短路微帶天線諧振尺寸可以按照如下公式選取：

(5)

公式(5)中λ_g 是介質波長。但是，為什么短路微帶天線沒能得到很好的應用？究其原因主要是交叉極化輻射非常嚴重^[2]。

微帶天線的基本理論是腔模理論。后人在腔模理論的基礎上發展出了寄生模及多模設計方法來進行微帶天線設計。作者認為這些后續發展起來的設計方法存在著先天的缺陷。雖然基于這些方法所設計的微帶天線，一些指標確實改善了，但同時又惡化了微帶天線其它指標。作者還是非常推崇腔模理論中的主模工作原理，發展出主模耦合理論及設計方法。基于主模耦合理論所設計的微帶天線幾乎改善了微帶天線的所有性能指標，而且還同時可以實現天線小型化^[3-5]。沿著這一學術思想，我們完美地解決了困擾了微帶天線界近半個世紀的短路微帶天線交叉極化輻射非常嚴重的難題。改良式短路微帶天線H面交叉極化電平可以表示為：

(6)

公式(6)中w 是輻射片寬度，g 是耦合縫隙寬度，θ 是俯仰角，m 的取值主要影響天線的交叉極化方向圖而基本不改變天線的主極化方向圖。當時，交叉極化輻射從單個零點變成三個零點。

6. 折疊半波偶極子天線

設半波偶極子天線輻射電阻為R_d 歐姆, 折疊半波偶極子天線輻射電阻R_fd 可以按照如下公式計算：

(7)

7. 布克關系（Booker’s Relation）

亨利•喬治•布克(H. G. Booker) 將光學中的巴比涅原理推廣到電磁場^[6]，并以此發現了互補天線阻抗之間存在如下關系：

(8)

公式(8)中Z_s 是縫隙天線阻抗，Z_d 是縫隙天線之互補天線的阻抗，Z₀ = 377歐姆是自由空間的波阻抗。布克關系告訴我們：如果縫隙天線阻抗已知，它的互補天線的阻抗也就知道了。

8. 德尚關系（Deschamps's Relation）

喬治•德尚（G.A. Deschamps）將布克關系擴展到了多端口天線^[7]。對于兩端口互補天線，德尚關系可以表達如下：

(9)

公式(9)中Z₁₁ 與Z₂₂ 分別是一端口與二端口自阻抗，Z₁₂ 是一端口與二端口之間互阻抗。

9. 輸入阻抗關系（Input Impedance Relation）

為了順應系統級集成的潮流，促進天線與電路協同設計的發展，作者正在努力統一天線與電路之間的一些術語，增進天線與電路工作者之間相互了解，盡量減小因術語差異而造成的誤解。作者從定義差分與單端口天線入手，引入了天線的差分輸入阻抗Z_dif ，共模輸入阻抗 Z_com ，單端口輸入阻抗Z_sig ，并發現了它們在諧振天線之間的如下關系：

(10)

 

(11)

公式(10)與（11）中Z_s 是端口自阻抗，Z_m 是端口之間互阻抗。上述關系對集成無線系統中天線與電路協同設計有著重要的理論指導意義^[8]。

二．無線電波傳播

無線電波傳播在不同傳播區域遵循不同傳播規律。因子4在確定傳播區域及表征傳播規律中起著重要作用。

10. 地平面上視距傳播拐點位置

(12)

公式(12)中h_b 是基站天線高度，h_m 是移動臺天線高度，λ 是工作波長。

11. 地平面上視距傳播拐點后路徑衰減指數

在地平面上視距傳播拐點位置之前，傳播區域屬于第一菲涅耳凈空區，路徑損耗可以使用自由空間公式計算。在地平面上視距傳播拐點位置之后，路徑損耗可以使用如下公式計算：

(13)

如果讀者想知道諸如隧道等限定空間中視距傳播拐點位置如何確定及路徑損耗如何計算？請參閱作者2003年發表的有關無線電波傳播的文章^[9]。

三．無線電系統

無線系統中的有源器件、無源零件、電路、阻抗變換都會遇到因子4。

12. 約翰遜-奈奎斯特噪聲

該噪聲又稱熱噪聲，它是平衡狀態下電導體內部電荷載流子（通常是電子）的熱攪動產生的電子噪聲，無論施加何種電壓，都會發生這種噪聲。

(14)

公式(14)中k 是玻爾茲曼常數，T 是電導體的溫度，R 是電導體的電阻，B 是頻帶寬度。

13. 場效應晶體管溝道噪聲

(15)

公式(15)中γ 是經驗數，與溝道長度有關，由實驗來定；g_m 是溝道電導。

14. 阻抗變換器

當傳輸線長度為λ/4 ，輸入阻抗Z_i 與負載阻抗Z_l 之乘積等于傳輸線特征阻抗Z_c 的平方。

(16)

15. 非線性增益壓縮

當輸入信號幅度A 增加時，所有電路或系統的增益都會受到因非線性所帶來的壓縮。如下公式（16）中a₁ 是電路或系統一階線性系數，a₃ 是三階非線性系數，a₃ 為負數 ^[10]。

(17)

16. 三階截取點

當輸入信號幅度A 增加到A_IP3 時，電路或系統的輸出信號中三階交調分量與一階線性分量相等。A_IP3 可以由如下公式計算 ^[10]：

(18)

結論：數字4作為無線電科學與技術中的一個重要因子，作者認為其主要原因有：莫里茨•赫爾曼•馮•雅哥比（Moritz Hermann von Jacobi）定理所決定的最大功率傳輸條件所要求；球體的立體角；三角函數計算等。此外，作者相信上述羅列肯定不完整，歡迎大家補充。最后，有感于上面簡單明了的公式，讓我用一句名言“簡潔即精致 （Simplest is the utmost sophistication）”來結束此文。

參考文獻:

[1] US patent 586193, Guglielmo Marconi, Transmitting electrical signals, filed December 7, 1896, granted July 13, 1897.
[2] E. Penard, J. P. Daniel, “Open and hybrid microstrip antennas,” IEE Proc. Pt. H, vol. 131, no. 1, pp. 38-44, Feb. 1984.
[3] Z. Shao, Y. P. Zhang, “Differential shorted patch Antennas,” IEEE Trans. Antennas Propag. vol. 67, no. 7, pp. 4438-4444, Jul. 2019.
[4] Z. Shao, Y. P. Zhang, “Cross-polarization reduction of shorted patch antenna by coupled TM01 mode,” to appear in IEEE Trans. Antennas Propag.
[5] Z. Shao, Y. P. Zhang, “Coupled shorted patch antennas with both broadside and conical radiation patterns,” to appear in IEEE Trans. Antennas Propag.
[6] H. G. Booker, “Slot aerials and their relations to complementary wire aerials,” JIEE (London), vol. 93, pt. IIIA, no. 4, pp. 620-626, 1946.
[7] G. A. Deschamps, “Impedance properties of complementary multiterminal planar structures,” IRE Trans. Antennas Propag., pp. 371-378, Dec. 1959.
[8] Y. P. Zhang, “Impedance relations for differential antennas and single-ended counterparts,” submitted to IEEE Trans. Antennas Propag.
[9] Y. P. Zhang, “Novel model for path loss prediction in tunnels,” IEEE Trans. Vehicular. Tech. vol. 52, no. 5, pp. 1308-1314, Sep. 2003.
[10] Y. P. Zhang, Lecture Notes on Radio-Frequency Integrated Systems Design, NTU, Singapore 

作者簡介: 張躍平，男，山西省萬榮縣西村人，博士，教授，無線電電子學家，IEEE Fellow，IEEE天線與傳播學會杰出講師，IEEE天線與傳播學會謝昆諾夫論文獎與克勞斯天線獎得主。