我們經常想要模擬入射到周期性結構中的電磁波（光、微波），例如衍射光柵、超材料，或頻率選擇表面。這可以使用COMSOL產品庫中的RF或波動光學模塊來完成。兩個模塊都提供了Floquet周期性邊界條件和周期性端口，并將反射和透射衍射級作為入射角和波長的函數進行計算。本博客將介紹這類分析背后的概念，并將介紹這類問題的設定方法。

場景

首先，讓我們來考慮代表周期性重復晶胞的自由空間平行六面體，平面波沿一個角度入射到其上，如下圖所示。

圖、平面波經過周期性重復晶胞的圖示

入射波矢k在全局坐標系中有三個分量，其大小分別是：k_x，k_y，和k_z。該問題可通過在域側面使用周期性邊界條件，并在頂部和底部使用端口邊界條件來模擬。該問題設定最復雜的地方是定義入射波和出射波的方向和偏振。

定義波方向

雖然COMSOL軟件非常靈活，支持對基矢坐標系的任意定義，但在本博客中，我們將選定一個坐標系并始終使用它。入射光的方向由兩個角度定義，α₁和α₂；以及兩個矢量，n為模擬空間中向外指向的法向，a₁為入射面的一個矢量。我們這里所選擇的約定將a₁與全局x軸對齊，將n與全局z軸對齊。因此，入射波的波矢與全局z軸之間的夾角為α₁，即入射仰角，其中-π/2，α₁，意味著垂直入射。入射波矢和全局x軸之間的夾角為入射方位角α₂，位于范圍-π/2之內。由該定義，α₁和α₂的正值表示波沿著x軸和y軸正向傳播。

如要使用入射方向的上述定義，我們需要指定a₁矢量。這可以通過選定一個周期性端口參考點來完成，它必須是入射端口的角點之一。軟件使用從該點出發的面內邊來定義兩個矢量，a₁和a₂，且a₁。在下圖中，我們可以看到滿足這一條件的四組a₁和a₂。因此，俯瞰z軸及平面時，入射面端口上的周期性端口參考點應為x-y平面左下角的點。通過選擇此點，a₁矢量變得與全局x軸對齊。

圖、周期性重復晶胞上的周期性端口參考點圖示

既然選擇了周期性端口參考點而在入射面定義了a₁和a₂，那么模擬域中出射面的端口也必須定義。法向矢量n指向相反的方向，因此必須調整所選擇的周期性端口參考點。四個角點都無法提供與入射面矢量對齊的a₁和a₂，因此我們必須選擇這四個點之一，并調整α₁和α₂的定義。通過在出射面選擇與入射面所選定點完全相反的周期性端口參考點，并將π/2旋轉α₂，a₁的方向被旋轉到a₁，指向與入射面a₁相反的方向。由于這種旋轉，模擬域中出射面的α₁和α₂的正負號發生了轉換。

圖、周期性重復晶胞中出射面的周期性端口參考點圖示

下一步，考慮一個代表介電半空間的模擬域，在入射和出射端口面之間存在折射率差異，這會使波方向發生改變，如下圖所示。根據斯涅耳定律，我們知道折射角為β。這使我們可以計算出射端口處的波矢方向。此外，請注意，即使有額外的介電層夾在兩個半空間之間，這種關系也仍然成立。

圖、斯涅耳定律圖示

總結一下，要定義通過一個晶胞的平面波方向，我們首先需要選擇兩個點，即周期性端口參考點，它們在入射面和出射面的位置完全相反。這些點定義了矢量a₁和a₂。因此，入射面的α₁和α₂可以相對于全局坐標系定義。在出射面上，方向角變為：α_1,out和α_2,out。

定義偏振

入射平面波的偏振可以是二者之一，即電場或磁場與x-y平面平行。所有其他偏振，例如圓形或橢圓形，都可以由這二者的線性組合建立。下圖顯示了α₂，且磁場與x-y平面平行的情況。當α₂時，全局坐標系中的入射和出射端口的磁場大小是(0，1，0)。由于光束旋轉使α₂，磁場大小變為sin(α₂₎。對于正交偏振，可以用類似方法定義入射面的電場大小。在出射端口，x-y平面中的場分量可以用相同的方式定義。

圖、周期性重復晶胞中磁場與x-y平面相平行的偏振圖示

到目前為止，我們已經看到了如何定義傳播經過介電界面周圍晶胞的平面波的方向與偏振。對這類問題，您可以看到案例庫中Fresnel方程模型的結果與解析解一致。

定義衍射級

接下來，讓我們來檢查一下把周期性結構引入模擬域之后會發生什么變化。考慮一個入射到下圖周期性結構中、且α₁，的平面波。如果波長相對光柵間距足夠短，就可能會存在一個或多個衍射級。要理解這些衍射級，我們必須觀察由矢量n和k所定義的平面，以及由矢量n和k所定義的平面。

圖、平面波衍射圖示

首先，沿著由n和k所定義平面的法向觀察，我們能看到零階透射傳輸模式的存在，其方向如前所述按照斯涅爾定律定義。零階反射分量也存在。結構中也可能存在一些光的吸收，不過未在圖片中顯示。下圖僅顯示了零階透射傳輸模式。間距d是由矢量n和k所定義平面中的周期性。

圖、零階透射傳輸模式圖示

對于足夠短的波長，也可以有更高階的衍射模式。當m時，下圖顯示了這些情況。

圖、短波長的更高階衍射模式圖示

這些模式存在的條件是：mλ₀

for:m…

其中m時的情況可以簡化為斯涅耳定律。當β_m≠0時，如果光程差等于真空中波長的整數倍，則發生相長干涉，m階衍射光束的衍射角為β_m。注意，正負m階的個數無需相同。

下一步，我們沿著由矢量n和k所定義的平面觀察。也就是說，我們將視角繞z軸旋轉，直到入射波矢看上去沿表面的法向。進入此平面的衍射標注為n階光束。注意該平面上的周期性間距w不同，且正負n階的個數總是相同。

圖、沿矢量n和k所定義平面的衍射

設定周期性端口時，COMSOL會自動計算這些m，n階模式，并定義監聽端口，從而可以計算出衍射至每種模式的能量有多少。

最后，我們必須考慮在波發生衍射后，其偏振可能會經歷旋轉。因此，每個衍射級包含兩個正交偏振，面內矢量和面外矢量分量。觀察由n和衍射波矢k_D所定義的平面，衍射場可以有兩個分量。面外矢量分量是指偏振方向在衍射面外（由n和k)所定義的平面）的衍射光束，面內矢量分量則為正交偏振。因此，如果面內矢量分量在特定衍射級非零，則意味著入射波在衍射時經歷了偏振的旋轉。對于n階模式，類似定義仍然適用。

圖、衍射波的面內矢量和面外矢量圖示

考慮介電基底上的周期性結構。光束以α₁入射時，就會有更高的衍射級，對所有衍射級的可視化會變得非常復雜。在下圖中，入射平面波的方向用黃色矢量顯示。n衍射級在正z方向的衍射用藍色箭頭顯示，負z方向的衍射用青綠色箭頭顯示。n階模式的正向衍射顯示為紅色，負向衍射顯示為紫紅色。衍射可以在這些方向的每個方向上發生，衍射波的偏振方向可以在衍射面內，也可以垂直于衍射面。衍射面本身可以顯示為一個圓弧。注意，在n模式下衍射面在正z和負z方向不同。

圖、對介電基底上所有衍射級的可視化

定義三維周期性結構時，所有端口會自動設定。它們獲取了這些不同的衍射級，并能夠計算每級的場和相對相位。理解這些端口的含義和解釋有助于模擬周期性結構。

來源：COMSOL博客

作者：Walter Frei