本篇文章將開啟一個全新的綜合性博客系列，探討高頻電磁場的多尺度模擬方法。在首篇文章中，我們將介紹必要的支撐理論和定義。后續的文章將探討如何使用COMSOL Multiphysics® 軟件在不同場景下對高頻電磁場進行多尺度模擬。讓我們開始吧！

應用范圍：天線和無線通信

多尺度模擬是現代仿真技術的一個挑戰性課題，它指的是當一個模型具有截然不同的尺度時產生的問題。舉例來說，你的手機大約長15 cm，但是它需要從20,000 km 外的衛星接收GPS 信息，在一個仿真中同時處理這兩個長度往往并不簡單。天氣、化學以及許多其他領域的仿真應用也會遇到類似的問題。

雖然多尺度模擬是一個泛泛的話題，不過我們選擇將重點放在天線和無線通信的實例上。當通過天線進行無線數據傳輸時，傳輸過程可以分為三個主要階段：

1、天線將本地信號轉換為自由空間輻射。
2、輻射向遠離天線的方向傳播，經過一段相對較長的距離。
3、另一個天線檢測到輻射，并將其轉換成接收信號。

現代通信通過天線進行遠距離無線數據傳輸。

數據傳輸過程中的兩個長度尺度是輻射波長和天線間的距離。我們想象一個具體的場景：FM 收音機的波長約為3 m，當你坐在汽車中收聽廣播時，通常距離無線電塔十公里以上。許多天線（例如偶極天線）的尺寸與波長相近，因此不必將天線尺寸看作一個不同的長度尺度。綜上所述，涉及的尺度包括：發射天線的長度尺度，信號從源傳送到目的地的另一種長度尺度，然后又是接收天線的原始長度尺度。

在同一個高頻電磁模型中處理多個尺度之前，我們先重溫一些最核心的方程式、術語和注意事項。

弗里斯傳輸方程

弗里斯（Friis）傳輸方程計算的是兩個由無損耗介質隔開的天線間的視距通信的接收功率，公式為

其中，下標r 和t 區分了發射天線和接收天線，G 是天線增益，P 是功率，Γ 是天線與傳輸線之間阻抗失配的反射系數，p 是極化失配因子，λ 是波長，r 是天線之間的距離，它與所謂的自由空間路徑損耗相關聯， θ 和 Φ 是兩個天線的角球坐標。

請注意，我們明確地引入了兩個阻抗失配項，因此：

· P_t 指發射天線提供給傳輸線的功率
· P_r 指接收天線從傳輸線接收的功率

許多文本注明了弗里斯傳輸方程的推導過程，所以我們在這里略過。

發射天線和接收天線增益的可視化圖像。在使用弗里斯傳輸方程時，我們必須了解天線的方向，才能獲得正確的增益參數。天線之間的距離為r。

球面坐標

下面，我們來討論球面坐標(r，θ，Φ)，原因是球面坐標極其適用于研究天線輻射，而且我們會在下文中反復使用它們。從笛卡爾坐標（x，y，z）出發，我們可以利用很方便地得到以下表達式。

為了方便起見，我們使用了真實的COMSOL Multiphysics 命令——sqrt()、acos() 和atan2()，而不是它們的數學符號。在創建仿真時，我們還將利用球面單位矢量的笛卡爾分量。

和的笛卡爾分量也能實現類似的任務，但對于我們來說是最重要的。在介紹射線光學的后續博客中，我們將探討這一問題。

給定點同時使用笛卡爾坐標(x, y, z) 和球面坐標(r, θ, Φ) 進行表示。球面坐標的單位矢量也顯示在圖片中。請注意，球面坐標的單位矢量是位置的函數。

坡印廷（Poynting）矢量和輻射強度

我們通常對天線的輻射功率很有興趣。功率通量的單位為W/m²，使用復坡印廷矢量

來表示。

許多有關天線的文本也會使用輻射強度，其定義為每立體角輻射的功率，單位為W/steradian（瓦/球面度）。在數學中，它的公式寫作

。

為了讓讀者更清楚，我們在此引入了兩個慣用法：

常用于電氣工程，而物理學家通常更加熟悉

。

之后，我們對所有角度上的輻射強度進行積分，由此計算出輻射功率。

增益和方向性

增益和方向性的相似之處是二者均能對特定方向的輻射功率進行量化，不同之處是增益將特定方向的輻射功率與輸入功率相關聯，而方向性將其與總輻射功率相關聯。更簡單地講，增益能夠解釋電介質損耗和導電損耗，而方向性不能。在數學中，增益和方向性分別表示為

和

。

P_in 是天線接收的功率，P_rad 是總輻射功率。雖然這兩個物理量都有意義，但是增益可以解釋天線中的材料損耗，一般情況下更為實用。考慮到它的常用性和實用性，我們還參考了“IEEE 有關天線術語的標準定義（IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas）”，（在給定方向上）的增益定義為：“在天線接收的輻射功率為各向同性的條件下，給定方向上輻射強度與接收的輻射強度之比。”

針對增益的定義，IEEE 添加了三個注釋：

1、“增益不包括由阻抗和極化失配所引起的損耗”。
2、“各向同性輻射功率的輻射強度等于天線接收的功率除以4π”。
3、“如果天線沒有耗散損耗，那么在任意給定方向上其增益等于其方向性”。

增益、實際增益和阻抗失配

在現實中，真正的天線會連接到傳輸線。天線和傳輸線的阻抗或許不一樣，所以可能會由于阻抗失配而存在損耗因子。實際增益 指考慮到阻抗失配時的增益。在數學中，實際增益表示為

，

其中

為傳輸線理論的反射系數，Z_c 為傳輸線的特性阻抗，Z 為天線的阻抗。

在COMSOL Multiphysics 中使用帶特性阻抗的集總端口時，計算的遠場增益相當于IEEE（電氣和電子工程師協會） 定義的實際增益。我們必須明確提及這一點，因為在過去的幾十年中增益的定義發生了多次變化。從2017 年發布的COMSOL Multiphysics 5.3 版本起，COMSOL 軟件將按照IEEE 的定義更改變量名稱。

Vivaldi 天線的實際增益和電場，使用了COMSOL Multiphysics 和“RF 模塊”進行模擬。您可以在“案例下載”中獲取Vivaldi天線的教學模型。

接收天線、洛倫茲互易定理和接收功率

到現在為止，我們討論的術語對應的是發出輻射的天線，不過它們通常同樣適用于接收天線。在上文中，我們更關注發射的原因是天線通常遵守互易定理（洛倫茲互易定理是大多數天線教科書的必要章節）。互易的含義是在特定的方向上，不管是沿此方向發射信號還是從此方向接收信號，天線的增益都是相同的。在實踐研究中，您可以使用發射天線的單個仿真來計算任意方向上的增益，這比模擬每個指定方向上的接收過程更加簡單。

當討論到接收天線時，我們往往想要計算入射信號的接收功率。具體的方法是用天線的有效面積

乘以入射功率通量，同時考慮到傳輸線的阻抗失配，由此得出

。

不出所料，它與弗里斯傳輸方程的其中幾項驚人地相似。

發射器示例：完美電偶極子

今天，我們將討論一種類型的發射器：完美電點偶極子。您可能在不同的文獻中看到它被稱為完美、理想或者無窮小偶極子。此發射器常用于表征電小天線的輻射。場的求解方程為

其中為輻射源的偶極矩（勿與極化失配混淆），k 為介質的波矢。

電小天線產生的電磁場的各區域分解圖。

在上述方程中，1/rⁿ 有三個因子。1/r² 和1/r³ 項在信號源附近更重要，而1/r 項在較大的距離上占主導地位。雖然電磁場是連續的，不過人們一般會根據與源的距離來劃分場的不同區域。上圖顯示了電小天線的一種場分布，事實上，還有其他適用于描述kr 大小的慣用法。

之后，我們將展示如何計算與給定源相隔任意距離的場，不過天線通信的最關鍵區域是與源相距最遠的遠場或輻射區。在這個區域內，場表現為球面波

～exp(-jkr)/r

的形式，之后我們會利用這個事實。

現在我們要將E-field 方程式拆分為兩個項。為簡單起見，我們將1/r 項稱為遠場（FF），將1/r² 和1/r³ 項稱為近場（NF）。

如上文所述，我們可以對所有角上的

進行積分，借此計算以瓦特為單位的輻射功率。請注意，只有遠場項對積分有貢獻，這就是對于天線工程師而言，天線具有實際意義的主要原因。點偶極子輻射的總功率為

，

其中Z₀ 是自由空間的阻抗，c 是光速。最大增益為1.5，它在垂直于偶極矩的平面（例如中偶極子的xy 平面）中是各向同性。

關于單位的說明：我們根據單位為庫侖*米（Cm）的偶極矩

的傳統定義寫出上方的表達式。天線和工程的文本通常使用安培*米（Am）來指定無窮小電流偶極子。COMSOL Multiphysics 遵循工程慣例。上述兩個定義由時間導數關聯起來，因此在COMSOL 軟件中執行方程時，應該將偶極矩乘以因子jω來獲得無窮小電流偶極子。

接收器示例：半波長偶極子

我們將理想導體——半波長偶極子用作接收天線。

許多文本探討了無限細的導線，它的阻抗 ≈73Ω，方向性為

。

值得一提的是，這種天線的阻抗與具有半徑的天線存在差異。我們討論的接收天線的長度為0.47 λ，長度與直徑之比為100。利用這些值，我們的模擬得到了 ≈733jΩ 的阻抗，它接近于無限細導線的阻抗值，并且與實驗值吻合良好。令人遺憾的是，對該數字進行比較沒有理論價值，但是這強調了天線設計對數值模擬的需求。

下圖比較了無限細偶極子與偶極天線仿真的方向性。因為天線是無損的，這相當于天線增益。您可以點擊“閱讀原文”下載偶極天線模型。

比較兩個半波長天線（z 方向）的方向性與 θ 之間的函數關系。COMSOL Multiphysics® 仿真模型是一個具有很小半徑的圓柱體，理論模型是一個無限細的天線。

計算接收功率

現在，我們可以使用弗里斯傳輸方程計算完美點偶極子發射的功率和半波長偶極子天線接收的功率。使用方程時，我們只需要了解增益和阻抗失配（或實際增益）、波長、天線之間的距離和輸入功率。我們選擇了使用電點偶極子，所以可以獲得偶極矩，而不是輸入功率和阻抗失配。要解決這個問題，我們可以去掉阻抗失配項，用完美電偶極子的輻射功率替代輸入功率——實際上，輸入功率等于輻射功率。

若假設發射器和檢測器均位于xy 平面，處于極化匹配狀態，相隔1000 λ，而且中發射極的偶極矩為1 Am，則弗里斯方程關于接收功率的計算值為380 μW。我們將在本系列的第3 部分中模擬接收功率值，借此驗證仿真技術，然后我們可以自信地從仿真中提取結果，并引入弗里斯方程無法解釋的復雜性。

結語

在本篇博客中，我們介紹了多尺度模擬的概念，討論了建模之前需要了解的相關術語、定義和理論。對于在電磁學和天線設計方面擁有深厚背景的專業人士而言，這或許是一篇快速回顧。如果您不熟悉本文介紹的概念，我們強烈建議您閱讀一本介紹經典電磁學或天線理論的書籍。

在后續的博客文章中，我們將重點討論如何在COMSOL Multiphysics中實現多尺度模擬，并且會反復提及今天討論的概念。