圖1. 信號g(f)的頻譜

接下來對g(f)進行采樣。我們可以利用數學形式表示該操作，即g(f)乘以一個時間間隔為T的沖激函數序列。通過將g(f)與沖激函數相乘，我們得到對應于沖激函數發生時刻的g(f)值，其它任何時間的乘積都為零。這類似于以fSAMPLING = 1/T的頻率對g(f)采樣。該操作可用公式1表示，采樣后的新信號稱為s(t)：

下一步是找出已采樣信號s(t)的頻譜。通過對公式1進行傅立葉變換可得到：

計算上面的積分比較復雜。為了簡化計算，注意到s(t)是g(f)與沖激脈沖序列的乘積。同時我們還知道時域的乘法對應頻域的卷積。(關于這一結論的證明可參考任何有關傅立葉變換的資料。) 因此，S(f)可以表示為：

注意公式3中的星號表示卷積，而不是相乘。我們已經知道原始信號的頻譜g(f)，因此只需要算出沖激函數序列的傅立葉變換。我們知道沖激函數序列是一個周期函數，因而可以用傅立葉級數表示。如下式：

其中傅立葉系數為：

公式5中積分的上下限只指定為一個周期。當處理沖激函數時，這沒有問題。然而，為了使上面的表達式具有更好的通用性，可以進行如下代換處理：用一個從負無窮到正無窮的傅立葉積分代替該積分，并用單個沖激函數―t周期信號的基本信號替代周期性的沖激函數序列。因而，公式5可以改寫為：

這樣一來沖激函數序列可采用以下易于進行傅立葉變換的簡化表達式：

考慮到一個信號可以從其傅立葉變換積分得到，如下式：

并且：

最終表達式如下：

根據以上結果，再重新考慮已采樣的基帶信號。其傅立葉變換表達式如下：

兩個信號A(f)和B(f)的卷積定義為：

則S(f)可表示為：

計算的結果為公式13，通常稱為采樣定理。它表明在時域里按周期T (秒)采樣得到的信號會以1/T的頻率重復原始信號的頻譜，如圖2所示。這一結果反過來可以清楚且直觀地回答先前的問題：如何采樣模擬信號才能夠保持原始信號的全部信息？

圖2. 采樣信號s(t)的頻譜 

混疊效應

為保留原始基帶信號的所有信息，必須確保每一個重復頻譜“輪廓”之間不發生交疊。如果相互交疊(這種現象稱為混疊)，就不可能再從采樣信號中恢復出原始信號。這會使高頻成分混疊到低頻頻段，如圖3所示。

圖3. 混疊對信號的影響

為了避免混疊，必須滿足以下條件：1/T > 2，或1/T > 2BW。該結論也可用采樣頻率表示為：

因此，不會產生混疊的最小采樣頻率為2BW。這就是眾所周知的奈奎斯特定律。

圖3給出了產生混疊的采樣信號。注意高頻信號分量fH呈現為低頻分量。您可以用一個低通濾波器來恢復原始頻譜，并將其它頻譜分量濾掉(衰減)。當使用截止頻率為的低通濾波器恢復信號時，它無法將混疊的高頻信號濾掉，從而造成有用信號的劣化。

考慮到混疊會惡化有用信號，再來考慮帶通信號這類特定的有限帶寬信號。帶通信號的低頻邊界不是零。如圖4所示，帶通信號的信號能量分布在L與>U之間，其帶寬定義為U - L。因此，帶通信號和基帶信號的主要區別在于它們的帶寬定義：基帶信號的帶寬等于它的最高頻率，而帶通信號的帶寬為最高頻率和最低頻率之差。

圖4. 帶通信號


從前面的討論可知，采樣信號以1/T的周期重復原始信號的頻譜。因為這個頻譜實際上包括從0Hz到原始帶通信號低頻截止頻率之間的零幅值頻帶，所以實際的信號帶寬要比U低。因此可以在頻域內做一定的頻率偏移，從而允許采樣頻率低于當信號頻譜占據整個零至U范圍時要求的采樣頻率。例如，假定信號帶寬為U/2，采樣頻率取為U即可滿足奈奎斯特定律，采樣信號的頻譜如圖5所示。

圖5. 帶通采樣信號的頻譜

該采樣過程沒有產生混疊，因此如果有理想的帶通濾波器，可完全從采樣信號中恢復出原始信號。在本例中，注意到基帶和帶通信號的差別是非常重要的。對于基帶信號，帶寬和相應的采樣頻率只由最高頻率決定。而帶通信號的帶寬通常都要比最高頻率小。

以上特性決定了從采樣信號中恢復原始信號的方法。對于最高頻率相同的基帶信號和帶通信號，只要采用合適的帶通濾波器來隔離原始信號頻譜 (圖5中的白色矩形部分)，帶通信號就可以采用較低的采樣頻率。由于信號頻譜中包括陰影部分，用于基帶信號恢復的低通濾波器在這種情況下無法恢復出原始帶通信號，如圖5所示。所以如果要用低通濾波器恢復圖5中的帶通信號，采樣頻率必須在2U以上以避免混疊。

有限帶寬信號必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復。對于帶通信號，只有用帶通濾波器時奈奎斯特采樣頻率才可以避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實際應用中選擇轉換器采樣頻率時，這一點很重要。

還要注意的是對有限帶寬信號的假設。從數學上分析，一個信號不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們，如果一個信號的持續時間是有限的，則它的頻譜就會延展到無限頻率范圍，如果它的帶寬是有限的，則它的持續時間是無限的。很顯然，我們找不到一個持續無限時間的時域信號，所以也不可能有真正的有限帶寬信號。不過絕大部分實際信號的頻譜能量都集中在有限帶寬內，因此前面的分析對這些信號仍然有效。 

采樣正弦信號

采樣正弦信號可以非常簡單和方便地展示發生混疊時高頻成分呈現為低頻成分這一固有現象。純粹正弦信號的頻譜僅包括相應頻點上的尖峰信號 (沖激函數)，出現混疊時，尖峰會從一個頻點移到另一個頻點。

以下結果是用125Msps、12位ADC MAX19541測試得出的。圖6所示為輸入信號頻率fIN = 11.5284MHz時變換器輸出信號的頻譜。數據顯示主尖峰正好出現在該頻點上。頻譜中還有一些其它的尖峰，它們是由轉換器的非線性引起的諧波，和本文的討論主題無關。由于采樣頻率fSAMPLING = 125MHz，遠大于奈奎斯特定律要求的兩倍輸入頻率，所以不會出現混疊。

圖6. MAX19541 ADC采樣后的信號頻譜。fSAMPLING = 125MHz, fIN = 11.5284MHz.

接下來考慮如果把輸入頻率提高到fIN = 183.4856MHz，主尖峰的位置會發生什么變化。該輸入頻率大于fSAMPLING/2，可以想象會有混疊出現。圖7給出了得到的頻譜，主尖峰落在58.48MHz頻點，這就是混疊信號。換言之，在58.48MHz頻點出現了一個原始信號中不包含的頻率信號。注意圖6和圖7中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜，因為頻譜是周期性的，圖中的顯示部分已經包含了所有必要信息。

圖7. MAX19541 ADC采樣后的信號頻譜。fSAMPLING = 125MHz, fIN = 183.4856MHz.