摘要：在數據采樣系統中，高于二分之一采樣率的頻率成分“混疊”(搬移)到有用頻帶。大多數時間，混疊是有害的副作用，所以在模/數(AD)轉換級之前，將“欠采樣”的較高頻率簡單濾除。但有時候，特意設計利用欠采樣，混疊使得AD系統作為混頻器工作。 本應用筆記討論數據采樣系統的不同濾波要求，介紹混疊以及用于抗混疊的不同類型濾波器。

濾波是一種我們往往視為當然的常見過程。我們在打電話時，接收器濾除其它所有信道，使我們僅僅接收到特定的信道。當我們調節立體聲系統的均衡器時，利用帶通濾波器選擇性增大或降低特定頻帶的音頻信號。

濾波器在幾乎所有數據采樣系統中扮演著重要角色。大多數模/數轉換器(ADC)都安裝有濾波器，濾除超出ADC范圍的頻率成分。有些ADC在其結構本身上就具有濾波功能。

我們接下來討論數據采樣系統、濾波要求以及與混疊的關系。

背景

數據采樣系統能夠高精度處理的最大頻率成分稱為其奈奎斯特極限。采樣率必須大于或等于輸入信號最高頻率的兩倍。如果違反該規則，在有用頻帶內就會出現多余或有害的信號，稱之為“混疊”。

例如，為了數字化1kHz信號，要求最低采樣率為2kHz。在實際應用中，采樣率通常較高，以提供一定的裕量，降低濾波要求。

為幫助理解數據采樣系統和混疊，我們以傳統的電影攝影為例。

在西部老片中，當馬車加速時，車輪正常加速轉動，然后看起來車輪速度卻變慢了，再然后似乎停止了。當馬車進一步加速時，車輪看起來像在倒轉。實際上，我們知道馬車沒有倒走，因為其它動作都一切正常。什么原因造成了這種現象？答案就是：幀速率不夠高，不足以準確捕獲車輪的轉動。

為幫助理解，假設在馬車車輪上貼一個看得到的標記，然后車輪轉動。然后我們按時間拍攝照片(或采樣)。由于電影攝影機通過每秒捕獲一定數量的照片來捕獲動作，所以本質上是數據采樣系統。就像膠片采用車輪的離散圖像一樣，ADC捕獲的是運動電信號的一系列快照。

當馬車首次加速時，采樣率(電影攝影機的幀速率)遠遠高于車輪的轉速，所以滿足奈奎斯特條件。攝像機的采樣率高于車輪轉速的兩倍，所以能夠準確描述車輪的運動，我們看到車輪加速的樣子(圖1a和1b)。

在奈奎斯特極限下，我們在180度范圍內看到兩個點(圖1c)。人眼一般很難明確分辨這兩個點的時間，這兩個點同時出現，車輪表現為停止。在這種車輪轉速下，轉動速率是已知的(根據采樣率)，但搞不清楚轉動方向。當馬車繼續加速時，不再滿足奈奎斯特條件，看到車輪的方式可能有兩種：我們“看到”車輪在正轉，其他人則看到是倒轉(圖1d)。

圖1. 馬車車輪的例子。

這兩種方向都可以看做是正確的方向，取決于您如何“看”車輪，但我們知道已經發生了信號混疊。也就是說，系統中出現了有害的頻率成分，我們不能將其與真實值區分開，同時出現了正轉和倒轉的運動信息。我們一般看到倒轉成分或正轉成分的“約數”或“鏡像”。由于是眼/腦相結合的方式處理數據,因此我們并不能察覺到車輪前轉的主要信息。另一種有意思的現象是采樣率與車輪轉速嚴格相等時，由于標記始終出現在車輪的相同位置，所以數據幾乎沒有提供有用信息。在這種情況下，沒有人能清楚車輪在轉動還是靜止。

現在轉入數學領域，假設車輪為單位圓，采用正弦和余弦坐標。如果在余弦值的正向和負向峰值采樣(180度錯相)，那么就滿足奈奎斯特條件，能夠利用兩個采樣數據點重構原始余弦值。所以，奈奎斯特極限是重構原始信號的關鍵。當增加的點越來越多時，復現原始信號的能力就提高了。

轉到頻域，圖2所示為采樣數據系統的頻率響應。注意，數據在采樣率的倍數處重復(原始信號的“鏡像”)；這是采樣數據系統的一種基本特征。圖2a中，滿足奈奎斯特條件，有用頻帶內沒有混疊現象。然而，在圖2b中，由于有用頻帶內的最高頻率大于二分之一采樣率，不再滿足奈奎斯特條件。重疊的區域發生了混疊；頻率為fT的信號也出現在fT'處，與馬車車輪的混疊相似。

圖2a. 采樣數據系統頻率響應，無混疊。

圖2b. 采樣數據系統頻率響應，發生混疊。

欠采樣

欠采樣是一種功能強大的工具，可有效用于所選應用。欠采樣允許ADC作為一個混頻器，能夠接收調制高頻載波信號并產生較低頻率的鏡像。這種方式下，就像下變頻器。另一種主要優點是允許ADC的采樣率低于奈奎斯特頻率，一般具有較明顯的成本優勢。例如，假設調制載波為10MHz，帶寬為100kHz (±50kHz，中心頻率為10MHz)。以4MHz進行欠采樣，產生1階和與差項(f1 + f2和f1 - f2)，分別為14MHz和6Mz；2階項(2f1、2f2、2f1 + f2、f1 + 2f2、| 2f1 - f2 |、| f1 - 2f2 |)，分別為8MHz、20MHz、18MHz、2MHz、24MHz和16MHz。出現在2MHz處的鏡像信號為有用信號。注意，我們的原始信號在10MHz，通過對其進行數字化在2MHz產生了鏡像。現在，我們可以在數字域進行信號處理(濾波和混頻)，恢復原始50kHz信號。該過程無需大幅的模擬處理，這是其主要優勢之一。由于所有處理都在數字域完成，如果需要對電路的性能和特性進行更改，只需修改軟件即可。相對而言，對于模擬設計，如果需要更改電路性能，需要改變電路硬件元件和布局，并且成本相當高。

欠采樣的一項缺點是有用頻帶內可能出現有害信號，您不能將其與有用信號區分開。此外，欠采樣時，ADC輸入的頻率范圍往往非常寬。在上例中，即使采樣率為4MHz，ADC前端仍然必須采樣10MHz信號。相對而言，如果在ADC之前利用模擬混頻器將調制載波信號向下搬移到基帶，那么ADC的輸入帶寬只需要為50kHz，而非4MHz，降低了ADC前端和輸入濾波要求。

圖3a. 欠采樣示例。

圖3b. 欠采樣數字化的鏡像信號(1階和2階)。

過采樣

過采樣提供所謂的處理增益。在過采樣時，以較高采樣頻率獲得多出實際需要的采樣數量，然后對數據濾波，從而有效降低系統的噪底(假設噪聲為寬帶白噪聲)。這不同于平均，后者是獲取很多采樣，噪聲被平均。可以這么理解過采樣：如果輸入信號來自于掃描頻率的信號源，頻譜則可以分為多個范圍或“容器”，每個容器的帶寬固定。寬帶噪聲分散在整個有用頻率范圍內，所以每個容器具有特定量的噪聲。現在，如果提高采樣率，那么頻率容器的數量也增多。在這種情況下，出現的噪聲量仍相同，但我們有更多的容器可供容納噪聲。然后我們利用濾波器濾除超出有用頻帶的噪聲。結果就是每個容器的噪聲減少，所以就通過過采樣有效降低了系統的噪底。

舉例說明，如果我們有一個2ksps ADC (下式中使用1kHz奈奎斯特極限)和1kHz信號，ADC之后為1kHz數字濾波器，處理增益由下式給出：-10 × log (1kHz/1kHz) = 0dB。如果們將采樣率增大至10ksps，處理增益現在為-10 × log (1kHz/5kHz) = 7dB，或者說大約1位分辨率(1位大約相當于信噪比(SNR)提高6dB)。通過過采樣，噪聲沒有減少，而是分散在更寬的帶寬內；將部分噪聲置于有用帶寬范圍之外，效果就相當于減少了噪聲。這種噪聲改善基于以下公式：

SNR改善(dB) = 10 × LOGA/B，其中A等于噪聲，B等于過采樣噪聲。

表述這一過程的另一種方式是：過采樣降低了帶內RMS量化噪聲，系數為過采樣率的平方根。或者，如果噪聲降低二分之一，則相當于3dB有效處理增益。不要忘了，我們這里僅討論了寬帶噪聲。過采樣不能簡單消除其它噪聲源和其他誤差。

抗混疊濾波器

有了以上背景知識后，我們現在討論抗混疊濾波器。在選擇濾波器時，目標是提供一個截止頻率，能從ADC輸入中消除有害信號或至少將其衰減至不對電路形成負面影響。抗混疊濾波器是滿足這一要求的低通濾波器。如何選擇正確的濾波器？需要考慮的關鍵參數是在通帶內的衰減量(或紋波)、阻帶內的預期濾波器滾降、過渡區域的陡度，以及不同頻率通過濾波器時的相位關系(圖4a)。

圖4a. 實際濾波器。

理想濾波器具有“磚墻”響應(圖4b)，也就是說其過渡比是無限大的。然而，在實際應用中不可能存在這種情況。滾降越陡，濾波器的“Q”或品質因子越高；Q因子越高，濾波器的設計就越復雜。較高的Q因子會造成濾波器不穩定以及在相應的拐點頻率下自振。選擇濾波器的關鍵是了解干擾信號的頻率及對應幅值。例如，對于手機，設計者知道鄰近信號的最差工作條件幅值和位置，從而有針對性地進行設計。并不是所有信號都能在頻域預測，甚至有些已知干擾信號太大，不能足夠地衰減。但是，根據環境和應用，您可考慮已知干擾和設計，最大程度降低隨機干擾，確保工作更可靠。

圖4b. 理想濾波器。

已知有用信號頻率后，利用簡單的濾波程序確定所需的濾波器結構，以滿足通帶、阻帶和過渡區域要求。在四種基本濾波器類型中，每種都有其各自的優勢(圖5)。

圖5. 四種基本的濾波器類型

例如，巴特沃斯(Butterworth)濾波器的通帶區域最平坦，意味著在相應頻率范圍內的衰減最小；貝塞爾(Bessel)濾波器的滾降較平緩，但其主要優勢是線性相位響應，意味著每種頻率成分在通過濾波器時的延時是相等的；由于群延遲定義為相位響應相對于頻率的偏差，所以線性相位響應通常指的是固定群延遲。切比雪夫(Chebyshev)濾波器的滾降較陡，但在通帶內紋波較大。橢圓(Elliptic)濾波器的滾降最陡。對于最簡單的抗混疊濾波器，簡單的單極點無源RC濾波器往往是可以接受的。在其它情況下，有源濾波器(即使用運放)比較合適。有源濾波器的一項優勢是多階濾波器，濾波器對外部元件值不太敏感，特別是濾波器的“Q”值。

抗混疊濾波器通常不必嚴格對應拐點頻率的位置，所以設計時具有一定余地。例如，如果您需要最大平坦度，但在通帶內仍然有太大衰減，只需將拐點頻率移遠即可解決問題。如果阻帶衰減太小，則可提高濾波器的極點數。另一種方案是在濾波后將信號放大，提高信號相對于有害信號的幅值。

Maxim具有多種低功耗、低通濾波器可供選擇，可用于抗混疊；其中包括MAX7490通用開關電容濾波器、MAX740x/MAX741x家族尺寸最小的低功耗低通開關電容濾波器，以及MAX274/MAX275通用連續時間方式濾波器。Maxim也提供豐富的低功耗高精度運放，適用于希望自己設計濾波器的用戶。對于這些用戶，強烈推薦在設計過程中參考好的濾波器手冊。

1. Delta-Sigma Data Converters Theory, Design, and Simulation, Edited by Norsworthy, Schreier and Temes, IEEE Press, ISBN 0-7803-1045-4.
2. 應用筆記4422：《集成方案簡化模擬濾波器設計》。
3. MAXFILTERBRD數據資料：MAX7408–MAX7415/MAX7418–MAX7425評估板