G(jω)=T(當|ω|<ωs/2)，G(jω)=0(當|ω|>=ωs/2)
則理想低通濾波器輸出信號y(t)的頻譜為：
Y(jω)=X’(jω)G(jω)=X(jω)
因此，在理想低通濾波器的輸出端就可恢復原連續時間信號：
y(t)=x(t)
這就是Nyquist定理，即只要采樣頻率fs>=2fm，其中fm是x(t)的最高頻率，則由理想采樣信號x’(t)就能不失真的恢復連續時間信號x(t)。但如果信號的最高頻率超過了ωs/2（或fm超過了fs/2），那么理想采樣信號的頻譜中，各次調制頻譜就會互相交疊起來，這就是頻譜混疊現象，而用基帶濾波器就不能不失真地濾出基帶頻譜，恢復出來的信號相對于x(t)也就失真了。
那么在示波器的波形重建中如何應用Nyquist理論呢？這就是正弦內插(sinx/x內插)，即在實際采樣點之間通過正弦內插算法插入足夠的點，這些插入的點在采樣率滿足Nyquist定理時與實際在此位置的值是同樣的，這樣插入的點與采樣的點一起提供足夠的點數把波形重建出來。如何進行正弦內插呢？讓我們來看看信號x’(t)通過理想低通濾波器的響應過程。由理想低通濾波器的頻率特性G(jω)可到其沖激響應為：
g(t)=1/(2π)∫+-∞ G(jω)ejωtdω=T/(2π) ∫+-ωs ejωtdω
=sin(ωs t /2)/ (ωs t /2)
=sin(πt/T)/ (πt/T)
根據卷積公式，通過低通濾波器的信號輸出為：
y(t)= ∫+-∞ x’(τ)g(t-τ)dτ
=∑n=-∞ to ∞ x(nT)g(t-nt)
這里g(t-nt)=sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)稱為內插函數。
由于y(t)=x(t),因此：
x(t)=y(t)= ∑n=-∞ to ∞ x(nT) sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)
此公式稱為采樣內插公式，它表明了連續時間信號x(t)如何由它的采樣序列x(nT)來恢復，即x(t)等于x(nT)乘上對應內插函數的總和。在每個采樣點上，由于只有該采樣值所對應的內插函數不為0，所以很明顯，上式保證了在各采樣點上信號值不變，而采樣點之間的信號則是由各采樣值內插函數的波形伸展疊加而成。這也正是理想低通濾波器G(jω)中的響應過程。
此內插公式的意義在于證明：只要滿足了采樣頻率大于信號最高頻率兩倍，整個連續時間信號x(t)可由它的采樣序列(或離散時間信號x(nT))恢復，而不丟失任何信息。此時x(nT)完全可以代表x(t)，兩者等價，含的信息是一樣的，即x(nT)是x(t)的另一種表現形式。但是當采樣率不滿足采樣定理時，x(t)所含的信息比x(nT)多，由x(nT)不能準確恢復x(t)，也就不存在上式的關系。
對于數字示波器來說，被測的數字信號的頻譜分量實際上是無窮的，我們為了確保一定的準確度，示波器或放大器的帶寬就應該是被測信號的帶寬的2倍（高斯頻響示波器）或1.4倍（Flat頻響示波器），這樣保證足夠的頻譜分量都可以通過放大器，而在采樣的時候，應該保證通過放大器的所有的頻譜分量都被采集到而不發生頻率混疊，這就要求采樣率應該是示波器帶寬的4倍（高斯頻響示波器）或2.5倍（Flat頻響示波器）。此處非信號帶寬，為什么呢？因為被測的數字信號的頻譜分量實際上是無窮的，放大器的濾波作用并非把-3dB帶寬的帶外信號全部濾掉，而是頻響曲線上會拖個尾巴，采樣率應該是包括尾巴部分的2倍以上，而非僅僅是-3dB帶寬的2倍以上。對于高斯頻響示波器因為拖的尾巴較長，所以通過實際計算采樣率需要帶寬的4倍以上，對于Flat頻響示波器，拖的尾巴相對較短，采樣率需要帶寬的2.5倍以上。如果采樣率不能滿足此要求，就會發生頻譜混疊，就會導致插值的錯誤，導致波形的失真。
總結
綜合上述，信號保真度是數字示波器的核心衡量標準，影響數字示波器信號保真度的主要幾個因素是：探頭連接部分帶寬，探頭帶寬，示波器帶寬和頻響，采樣率。
如何選擇示波器的帶寬和實時采樣率呢？下面規則幫助我們確定(此規則保證邊沿3%測試誤差)。
1、知道你的信號的最快上升時間, tr
2、計算信號最高頻率分量（或帶寬）, Fmax（BWsignal）
Fmax（BWsignal） = 0.4 / tr (20% to 80%)
Fmax（BWsignal） = 0.5 / tr (10% to 90%)
3、計算需要的示波器帶寬, BWscope
BWscope = 2 * Fmax(BWsignal) (高斯頻響示波器)
BWscope = 1.4 * Fmax(BWsignal)(Flat頻響示波器)
4、計算需要的示波器采樣率, SRscope
SRscope = 4 * BWscope
SRscope = 2.5 * BWscope (Flat頻響示波器)
作者：安捷倫科技專家 孫燈亮
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